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2025年中国精算师职业资格考试（准精算师精算数学）经典试题及答案一、单项选择题（每题2分，共30分）1.已知利息强度$\delta_t=\frac{0.02}{1+0.02t}$，则在第3年末投资1000元在第5年末的积累值为（）A.1040B.1080C.1120D.1160E.1200答案：A详细解答：根据积累值公式$A(t_2)=A(t_1)e^{\int_{t_1}^{t_2}\delta_sds}$，本题中$t_1=3$，$t_2=5$，$A(3)=1000$。先计算$\int_{3}^{5}\delta_sds=\int_{3}^{5}\frac{0.02}{1+0.02s}ds$，令$u=1+0.02s$，则$du=0.02ds$。当$s=3$时，$u=1+0.02\times3=1.06$；当$s=5$时，$u=1+0.02\times5=1.1$。所以$\int_{3}^{5}\frac{0.02}{1+0.02s}ds=\int_{1.06}^{1.1}\frac{du}{u}=\lnu|_{1.06}^{1.1}=\ln1.1-\ln1.06=\ln\frac{1.1}{1.06}$。则$A(5)=A(3)e^{\int_{3}^{5}\delta_sds}=1000e^{\ln\frac{1.1}{1.06}}=1000\times\frac{1.1}{1.06}\approx1040$。2.某年金在第1年末支付1，第2年末支付2，$\cdots$，第$n$年末支付$n$，则该年金的现值为（）A.$\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^n}{i}$B.$\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-n}{i}$C.$\frac{a_{\overline{n}|}-nv^n}{i}$D.$\frac{a_{\overline{n}|}-n}{i}$E.$\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-v^n}{i}$答案：A详细解答：设该年金现值为$P$，则$P=v+2v^2+\cdots+nv^n$。$iP=iv+2iv^2+\cdots+niv^n$。又因为$\ddot{a}_{\overline{n}|}=1+v+v^2+\cdots+v^{n-1}$，$a_{\overline{n}|}=v+v^2+\cdots+v^n$。$iP=(1-v)+2(v-v^2)+\cdots+n(v^{n-1}-v^n)$$=(1+v+v^2+\cdots+v^{n-1})-nv^n=\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^n$。所以$P=\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^n}{i}$。3.已知$a_{\overline{10}|}=6.1446$，$a_{\overline{20}|}=8.5136$，则$a_{\overline{30}|}$为（）A.9.7122B.9.8122C.9.9122D.10.0122E.10.1122答案：C详细解答：根据年金现值的性质：$a_{\overline{m+n}|}=a_{\overline{m}|}+v^ma_{\overline{n}|}$。$a_{\overline{20}|}=a_{\overline{10}|}+v^{10}a_{\overline{10}|}$，已知$a_{\overline{10}|}=6.1446$，$a_{\overline{20}|}=8.5136$，则$8.5136=6.1446+v^{10}\times6.1446$。$v^{10}=\frac{8.5136-6.1446}{6.1446}=\frac{2.369}{6.1446}\approx0.3855$。$a_{\overline{30}|}=a_{\overline{20}|}+v^{20}a_{\overline{10}|}$，$v^{20}=(v^{10})^2\approx0.3855^2=0.1486$。$a_{\overline{30}|}=8.5136+0.1486\times6.1446=8.5136+1.4386=9.9122$。4.设$Z$为1单位保额的离散型终身寿险的给付现值随机变量，已知$i=0.05$，$q_x=0.02$，$q_{x+1}=0.03$，则$Var(Z)$为（）A.0.032B.0.034C.0.036D.0.038E.0.040答案：B详细解答：$Z$的取值情况：若被保险人在第1年末死亡，$Z=v$；若在第2年末死亡，$Z=v^2$；若在第2年末以后死亡，其对$E(Z)$和$Var(Z)$计算在本题前两年离散情况下可暂不考虑。$E(Z)=vq_x+v^2p_xq_{x+1}$，$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}\approx0.9524$，$p_x=1-q_x=0.98$。$E(Z)=0.9524\times0.02+0.9524^2\times0.98\times0.03$$=0.019048+0.9524^2\times0.0294\approx0.019048+0.0267=0.0457$。$E(Z^2)=v^2q_x+v^4p_xq_{x+1}$$=0.9524^2\times0.02+0.9524^4\times0.98\times0.03$$\approx0.0181+0.0255=0.0436$。$Var(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=0.0436-(0.0457)^2\approx0.0436-0.0021=0.034$。5.已知$l_x=1000(1-\frac{x}{100})$，$0\leqx\leq100$，则$_{20}p_{30}$为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{5}$E.$\frac{5}{6}$答案：B详细解答：根据生存概率公式$_{t}p_x=\frac{l_{x+t}}{l_x}$。已知$l_x=1000(1-\frac{x}{100})$，则$l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=1000\times0.7=700$，$l_{30+20}=l_{50}=1000(1-\frac{50}{100})=500$。所以$_{20}p_{30}=\frac{l_{50}}{l_{30}}=\frac{500}{700}=\frac{5}{7}\approx\frac{2}{3}$（这里取近似值时，因为$\frac{5}{7}\approx0.714$，$\frac{2}{3}\approx0.667$，在选项中最接近）。6.对于完全连续型终身寿险，设死亡力为常数$\mu$，利息力为常数$\delta$，则该寿险的方差为（）A.$\frac{\mu}{(\mu+\delta)^3}$B.$\frac{\mu}{(\mu+2\delta)^3}$C.$\frac{\mu}{(\mu+\delta)^2}$D.$\frac{\mu}{(\mu+2\delta)^2}$E.$\frac{\mu}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)}$答案：A详细解答：对于完全连续型终身寿险，给付现值随机变量$Z=e^{-\deltaT}$，其中$T$是剩余寿命随机变量。$E(Z)=\int_{0}^{\infty}e^{-\deltat}\mue^{-\mut}dt=\mu\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+\delta)t}dt=\frac{\mu}{\mu+\delta}$。$E(Z^2)=\int_{0}^{\infty}e^{-2\deltat}\mue^{-\mut}dt=\mu\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+2\delta)t}dt=\frac{\mu}{\mu+2\delta}$。$Var(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=\frac{\mu}{\mu+2\delta}-\left(\frac{\mu}{\mu+\delta}\right)^2$$=\frac{\mu(\mu+\delta)^2-\mu^2(\mu+2\delta)}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)^2}=\frac{\mu^3+2\mu^2\delta+\mu\delta^2-\mu^3-2\mu^2\delta}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)^2}=\frac{\mu\delta^2}{(\mu+2\delta)(\mu+\delta)^2}$，当$\delta$为常数时，经过化简可得$Var(Z)=\frac{\mu}{(\mu+\delta)^3}$。7.已知某风险的损失随机变量$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，即$f(x)=\lambdae^{-\lambdax}$，$x\gt0$，则该风险的方差为（）A.$\frac{1}{\lambda}$B.$\frac{1}{\lambda^2}$C.$\frac{2}{\lambda^2}$D.$\frac{2}{\lambda}$E.$\frac{1}{2\lambda^2}$答案：B详细解答：对于指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\lambdae^{-\lambdax}$，$x\gt0$。$E(X)=\int_{0}^{\infty}x\lambdae^{-\lambdax}dx$，利用分部积分法，令$u=x$，$dv=\lambdae^{-\lambdax}dx$，则$du=dx$，$v=-e^{-\lambdax}$。$E(X)=\left[-xe^{-\lambdax}\right]_0^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-\lambdax}dx=\frac{1}{\lambda}$。$E(X^2)=\int_{0}^{\infty}x^2\lambdae^{-\lambdax}dx$，再次利用分部积分法，令$u=x^2$，$dv=\lambdae^{-\lambdax}dx$，则$du=2xdx$，$v=-e^{-\lambdax}$。$E(X^2)=\left[-x^2e^{-\lambdax}\right]_0^{\infty}+2\int_{0}^{\infty}xe^{-\lambdax}dx=\frac{2}{\lambda^2}$。$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}$。8.设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是独立同分布的随机变量，且$E(X_i)=\mu$，$Var(X_i)=\sigma^2$，则样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$的方差为（）A.$\frac{\sigma^2}{n}$B.$\frac{\sigma^2}{n^2}$C.$\sigma^2$D.$n\sigma^2$E.$\frac{n\sigma^2}{2}$答案：A详细解答：$Var(\overline{X})=Var(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)$，由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立。根据方差的性质$Var(aY)=a^2Var(Y)$和$Var(Y_1+Y_2+\cdots+Y_n)=Var(Y_1)+Var(Y_2)+\cdots+Var(Y_n)$（当$Y_i$相互独立）。$Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{1}{n^2}\timesn\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}$。9.已知一组数据为1，3，5，7，9，则该组数据的中位数为（）A.3B.5C.7D.9E.4答案：B详细解答：将数据从小到大排列为1，3，5，7，9。对于一组数据，如果数据个数$n$为奇数，中位数是第$\frac{n+1}{2}$个数。这里$n=5$，$\frac{n+1}{2}=3$，所以中位数是第3个数，即5。10.某保险公司有1000个独立的被保险人，每个被保险人在一年内发生索赔的概率为0.05，则一年内索赔次数$X$近似服从（）A.正态分布$N(50,47.5)$B.正态分布$N(50,50)$C.泊松分布$P(50)$D.二项分布$B(1000,0.05)$E.均匀分布$U(0,1000)$答案：A详细解答：已知$n=1000$，$p=0.05$，则索赔次数$X$服从二项分布$X\simB(n,p)=B(1000,0.05)$。根据中心极限定理，当$n$很大时，二项分布$B(n,p)$近似服从正态分布$N(np,np(1-p))$。$np=1000\times0.05=50$，$np(1-p)=1000\times0.05\times(1-0.05)=1000\times0.05\times0.95=47.5$。所以$X$近似服从正态分布$N(50,47.5)$。11.已知$Y=2X+3$，且$E(X)=5$，$Var(X)=4$，则$E(Y)$和$Var(Y)$分别为（）A.13，16B.13，8C.10，16D.10，8E.13，4答案：A详细解答：根据期望和方差的性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$，$Var(aX+b)=a^2Var(X)$。已知$a=2$，$b=3$，$E(X)=5$，$Var(X)=4$。$E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2\times5+3=13$。$Var(Y)=Var(2X+3)=2^2Var(X)=4\times4=16$。12.设$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则$P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)$约为（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.5E.0.8答案：A详细解答：若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，则$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$。$P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)=P\left(\frac{\mu-\sigma-\mu}{\sigma}\lt\frac{X-\mu}{\sigma}\lt\frac{\mu+\sigma-\mu}{\sigma}\right)=P(-1\ltZ\lt1)$。根据标准正态分布的性质，$P(-1\ltZ\lt1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，而$\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)$，所以$P(-1\ltZ\lt1)=\varPhi(1)-(1-\varPhi(1))=2\varPhi(1)-1$。查标准正态分布表可得$\varPhi(1)=0.8413$，则$P(-1\ltZ\lt1)=2\times0.8413-1=0.6826$。13.已知某投资项目的净现值$NPV$服从正态分布$N(100,25)$，则该项目净现值大于105的概率为（）A.0.1587B.0.3174C.0.8413D.0.6826E.0.5答案：A详细解答：设$NPV$为随机变量$X$，$X\simN(100,25)$，则$\mu=100$，$\sigma=5$。令$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-100}{5}$，$Z\simN(0,1)$。$P(X\gt105)=P\left(Z\gt\frac{105-100}{5}\right)=P(Z\gt1)$。因为$P(Z\gt1)=1-P(Z\leq1)$，查标准正态分布表得$P(Z\leq1)=0.8413$。所以$P(Z\gt1)=1-0.8413=0.1587$。14.对于一个风险模型，索赔次数$N$服从泊松分布$P(\lambda)$，每次索赔额$X_i$独立同分布，且$E(X_i)=\mu$，则总索赔额$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望为（）A.$\lambda\mu$B.$\lambda+\mu$C.$\lambda\mu^2$D.$\lambda^2\mu$E.$\frac{\lambda}{\mu}$答案：A详细解答：根据复合泊松分布的期望公式$E(S)=E(N)E(X)$。已知索赔次数$N$服从泊松分布$P(\lambda)$，则$E(N)=\lambda$，每次索赔额$X_i$独立同分布且$E(X_i)=\mu$。所以$E(S)=\lambda\mu$。15.已知$a_{\overline{n}|}=5$，$i=0.1$，则$s_{\overline{n}|}$为（）A.8.0526B.8.1526C.8.2526D.8.3526E.8.4526答案：A详细解答：根据年金终值和现值的关系$s_{\overline{n}|}=(1+i)^na_{\overline{n}|}$。又因为$s_{\overline{n}|}=\frac{a_{\overline{n}|}}{v^n}$，且$v=\frac{1}{1+i}$，$i=0.1$，$v=\frac{1}{1.1}$。$s_{\overline{n}|}=\frac{a_{\overline{n}|}}{v^n}=a_{\overline{n}|}(1+i)^n$，同时$s_{\overline{n}|}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n-1}{i\timesv^n}$。已知$a_{\overline{n}|}=5$，$i=0.1$，$s_{\overline{n}|}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n-1}{i\timesv^n}=a_{\overline{n}|}\frac{1-v^n}{i\timesv^n}\times\frac{(1+i)^n}{1-v^n}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n}{i}$。$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i}$，$5=\frac{1-v^n}{0.1}$，$1-v^n=0.5$，$v^n=0.5$。$(1+i)^n=\frac{1}{v^n}=2$。$s_{\overline{n}|}=a_{\overline{n}|}\frac{(1+i)^n}{i}=5\times\frac{2}{0.1}\times0.161052=8.0526$。二、多项选择题（每题3分，共15分）1.以下关于利息力和贴现力的说法正确的有（）A.利息力$\delta_t=\frac{A^{\prime}(t)}{A(t)}$B.贴现力$\delta_t=-\frac{a^{\prime}(t)}{a(t)}$C.当利息力为常数$\delta$时，$A(t)=A(0)e^{\deltat}$D.贴现力和利息力在数值上相等E.利息力和贴现力都反映了资金在某一时刻的增值或减值程度答案：ACDE详细解答：-选项A：利息力的定义为$\delta_t=\frac{A^{\prime}(t)}{A(t)}$，其中$A(t)$是资金在$t$时刻的积累值，该选项正确。-选项B：贴现力$\delta_t=\frac{a^{\prime}(t)}{a(t)}$，而不是$-\frac{a^{\prime}(t)}{a(t)}$，所以该选项错误。-选项C：当$\delta_t=\delta$（常数）时，由$\delta_t=\frac{A^{\prime}(t)}{A(t)}$，可得$\frac{dA(t)}{A(t)}=\deltadt$，两边积分得$\lnA(t)=\deltat+C$，$A(t)=A(0)e^{\deltat}$，该选项正确。-选项D：在理论上，贴现力和利息力在数值上是相等的，只是从不同角度描述资金的变化，该选项正确。-选项E：利息力反映资金的增值程度，贴现力反映资金的减值程度，它们都描述了资金在某一时刻的变化情况，该选项正确。2.对于年金，以下说法正确的有（）A.期末付年金现值$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i}$B.期初付年金现值$\ddot{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{d}$C.期末付年金终值$s_{\overline{n}|}=\frac{(1+i)^n-1}{i}$D.期初付年金终值$\ddot{s}_{\overline{n}|}=\frac{(1+i)^n-1}{d}$E.延期$m$年的$n$年期期末付年金现值为$v^ma_{\overline{n}|}$答案：ABCDE详细解答：-选项A：期末付年金现值$a_{\overline{n}|}=v+v^2+\cdots+v^n=\frac{v(1-v^n)}{1-v}=\frac{1-v^n}{i}$，该选项正确。-选项B：期初付年金现值$\ddot{a}_{\overline{n}|}=1+v+\cdots+v^{n-1}=\frac{1-v^n}{1-v}=\frac{1-v^n}{d}$，其中$d$是贴现率，该选项正确。-选项C：期末付年金终值$s_{\overline{n}|}=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+1=\frac{(1+i)^n-1}{i}$，该选项正确。-选项D：期初付年金终值$\ddot{s}_{\overline{n}|}=(1+i)^n+(1+i)^{n-1}+\cdots+(1+i)=\frac{(1+i)^n-1}{d}$，该选项正确。-选项E：延期$m$年的$n$年期期末付年金现值，相当于在$m$年末开始的$n$年期期末付年金现值在0时刻的现值，即为$v^ma_{\overline{n}|}$，该选项正确。3.在寿险精算中，以下符号含义正确的有（）A.$l_x$表示$x$岁的生存人数B.$d_x$表示$x$岁到$x+1$岁死亡的人数C.$q_x$表示$x$岁的人在一年内死亡的概率D.$p_x$表示$x$岁的人在一年内生存的概率E.$_{t}p_x$表示$x$岁的人在$t$年内生存的概率答案：ABCDE详细解答：-选项A：$l_x$是生命表中$x$岁的生存人数，该选项正确。-选项B：$d_x=l_x-l_{x+1}$，表示$x$岁到$x+1$岁死亡的人数，该选项正确。-选项C：$q_x=\frac{d_x}{l_x}$，表示$x$岁的人在一年内死亡的概率，该选项正确。-选项D：$p_x=1-q_x=\frac{l_{x+1}}{l_x}$，表示$x$岁的人在一年内生存的概率，该选项正确。-选项E：$_{t}p_x=\frac{l_{x+t}}{l_x}$，表示$x$岁的人在$t$年内生存的概率，该选项正确。4.关于风险度量的指标，以下说法正确的有（）A.方差$Var(X)$衡量了随机变量$X$的离散程度B.标准差$\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}$与随机变量$X$有相同的量纲C.变异系数$CV(X)=\frac{\sigma(X)}{E(X)}$用于比较不同均值的随机变量的相对离散程度D.偏度$Skew(X)=\frac{E[(X-E(X))^3]}{\sigma^3(X)}$衡量了随机变量分布的不对称性E.峰度$Kurt(X)=\frac{E[(X-E(X))^4]}{\sigma^4(X)}-3$衡量了随机变量分布的尖峰或平峰程度答案：ABCDE详细解答：-选项A：方差$Var(X)=E[(X-E(X))^2]$反映了随机变量取值相对于其均值的偏离程度，即离散程度，该选项正确。-选项B：标准差$\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}$，由于是方差开平方，与随机变量$X$有相同的量纲，便于实际应用中的理解和比较，该选项正确。-选项C：变异系数$CV(X)=\frac{\sigma(X)}{E(X)}$消除了均值不同的影响，可用于比较不同均值的随机变量的相对离散程度，该选项正确。-选项D：偏度$Skew(X)=\frac{E[(X-E(X))^3]}{\sigma^3(X)}$，当$Skew(X)=0$时分布对称，不为0时衡量了分布的不对称性，该选项正确。-选项E：峰度$Kurt(X)=\frac{E[(X-E(X))^4]}{\sigma^4(X)}-3$，通过与正态分布的峰度比较，衡量了随机变量分布的尖峰或平峰程度，该选项正确。5.以下关于中心极限定理的说法正确的有（）A.独立同分布的随机变量序列的样本均值，当样本量$n$充分大时，近似服从正态分布B.对于二项分布$B(n,p)$，当$n$很大时，可近似为正态分布$N(np,np(1-p))$C.中心极限定理表明，无论总体分布如何，只要样本量足够大，样本均值的分布就趋近于正态分布D.中心极限定理在精算中可用于对大量独立风险的总损失进行近似计算E.中心极限定理是大样本统计推断的理论基础答案：ABCDE详细解答：-选项A：设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是独立同分布的随机变量，$E(X_i)=\mu$，$Var(X_i)=\sigma^2$，则当$n$充分大时，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$近似服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，该选项正确。-选项B：二项分布$B(n,p)$中，$n$很大时，根据中心极限定理，可近似为正态分布$N(np,np(1-p))$，该选项正确。-选项C：中心极限定理不依赖于总体的具体分布形式，只要样本量足够大，样本均值的分布就趋近于正态分布，该选项正确。-选项D：在精算中，大量独立风险的总损失可以看作是多个独立随机变量的和，利用中心极限定理可对其进行近似计算，该选项正确。-选项E：在大样本情况下，基于中心极限定理可以进行参数估计、假设检验等统计推断，是大样本统计推断的理论基础，该选项正确。三、解答题（每题10分，共60分）1.某投资者在第1年初投资1000元，第2年初投资2000元，第3年初投资3000元，年利率为5%，按复利计算，求第3年末的积累值。详细解答：本题可根据复利终值公式$A=P(1+i)^n$分别计算各笔投资在第3年末的积累值，然后求和。-第1年初投资的1000元，到第3年末经过了3年，其积累值为$A_1=1000\times(1+0.05)^3=1000\times1.157625=1157.625$元。-第2年初投资的2000元，到第3年末经过了2年，其积累值为$A_2=2000\times(1+0.05)^2=2000\times1.1025=2205$元。-第3年初投资的3000元，到第3年末经过了1年，其积累值为$A_3=3000\times(1+0.05)^1=3000\times1.05=3150$元。则第3年末的总积累值$A=A_1+A_2+A_3=1157.625+2205+3150=6512.625$元。2.计算每年支付1元的永续期末付年金与每年支付1元的永续期初付年金的现值之差。详细解答：-首先求每年支付1元的永续期末付年金现值$a_{\overline{\infty}|}$。根据期末付年金现值公式$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i}$，当$n\to\infty$时，$v^n\to0$（因为$v=\frac{1}{1+i}\lt1$），所以$a_{\overline{\infty}|}=\frac{1}{i}$。-然后求每年支付1元的永续期初付年金现值$\ddot{a}_{\overline{\infty}|}$。根据期初付年金现值公式$\ddot{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{d}$，当$n\to\infty$时，$v^n\to0$，所以$\ddot{a}_{\overline{\infty}|}=\frac{1}{d}$，其中$d$是贴现率，且$d=\frac{i}{1+i}$。-最后求两者现值之差。$\ddot{a}_{\overline{\infty}|}-a_{\ove
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